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PRIMA FACOLTA' DI MEDICINA E CHIRURGIA - CLM "B" SAPIENZA UNIVERSITA' DI ROMA |
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La risoluzione dei problemi di tipo logico o aritmetico (tra i quali rientrano gli esercizi di stechiometria proposti in questo Corso Integrato) puo' ottenersi utilizzando vari metodi, dei quali si ritiene utile offrire una breve panoramica. I metodi proposti sono stati tutti studiati nell'ambito delle varie linee di pensiero e di ricerca della psicologia accademica, che hanno ciascuna suggerito il proprio metodo come quello "spontaneo" adottato dagli esseri umani non specificamente addestrati ad usarne un altro. Non entreremo in questa discussione, ma osserveremo che il metodo di soluzione dei problemi di aritmetica insegnato correntemente nelle scuole e' un ibrido tra i metodi algoritmico ed euristico, del quale non viene data descrizione formale, per affidarsi invece all'intuizione dello studente. Poiche' l'intuizione non e' completamente affidabile, si ritiene preferibile in questo corso affidarsi ad una visione piu' esplicita e formale. I tre metodi meglio codificati sono i seguenti: il metodo EURISTICO studiato in particolare dagli psicologi della Gestalt il metodo ALGORITMICO studiato dagli psicologi cognitivisti il metodo PER PROVE ED ERRORI studiato dagli psicoligi comportamentisti Descriveremo i tre metodi applicandoli ad un problema di stechiometria preso come esempio; nel caso del metodo per prove ed errori, pero', proporremo anche un ulteriore esempio, necessario per chiarire meglio gli scopi del metodo. Il problema proposto come esempio e' il seguente: La densita' di un gas perfetto che non dissocia e' pari a 1 g/L a 273 K e 1 atm. Determinare il peso molecolare del gas. IL METODO EURISTICO e' essenzialmente una buona intuizione: la soluzione ci appare all'improvviso nella mente, come una lampadina che si accende, ed e' spesso molto elegante. Ovviamente, siccome non tutte le intuizioni sono buone, occorre valutare la soluzione euristica trovata con un certo spirito critico, prima di adottarla. Ad esempio, per il problma proposto sopra, potremmo avere la seguente intuizione: il volume molare del gase perfetto, nelle condizioni date e' V = nRT/P = 22,4 L; basta quindi usare la densita' per calcolare il peso di questo volume, e quello sara' il peso della mole: peso = densita' x volume = 1 g/L x 22,4 L = 22,4 g. Il peso di una mole del gas e' 22,4 g e quindi il PM e' 22,4 UMA. Il difetto principale del metodo euristico e' che non sempre ci viene una buona idea, soprattutto se abbiamo un limite di tempo prefissato per farcela venire (ad esempio la durata di una prova scritta di esame); un difetto aggiuntivo e' che un'idea apparentemente buona potrebbe in effetti rivelarsi sbagliata. E' importante notare che la soluzione euristica non e' in genere unica: altre buone idee potrebbero portare, con diverso meccanismo, alla stessa soluzione. IL METODO ALGORITMICO e' meno elegante del precedente e piu' laborioso: consiste nel partire dalla domanda posta dal problema e ragionare all'indietro, verso i dati per costruire un percorso algebrico di soluzione, fatto ogni volta di una domanda elementare e la sua risposta. Inizialmente le formule algebriche che scriveremo richiederanno dei dati che non possediamo; ma andando avanti arriveremo ad una formula per la quale il problema ci fornisce tutti i dati necessari; a questo punto avremo costruito il percorso verso la soluzione (l'algoritmo), che andra' utilizzato nella direzione opposta, dai dati verso la domanda per ottenere la soluzione. Per applicare questo metodo al problema del peso molecolare del gas procediamo come segue: Prima fase: costruzione dell'algoritmo. 1) La domanda del problema e': qual e' il P.M.? La risposta a questa domanda e' P.M. = peso / numero di moli. Il peso e' dato dal problema sotto forma della densita' del gas: d = 1 g/L. 2) Ci poniamo quindi la domanda successiva: quante moli di gas sono contenute in 1 L di volume (che pesa 1 g)? La risposta a questa domanda viene dalla legge di stato dei gas: PV=nRT da cui si ricava n=PV/RT Poiche' il problema era piuttosto semplice il nostro algoritmo si completa in due soli passaggi: infatti le variabili della seconda domanda sono tutte date: P=1 atm, V=1 L (dalla densita'), R (costante universale dei gas), T=273 K. Possiamo ora riscrivere il nostro algoritmo in direzione inversa, dai dati alla soluzione, ed applicarlo: n = PV/RT = 1x1 / 0,0821x273 = 0,0446 moli P.M. = 1 g / 0,0446 moli = 22,4 g/mole = 22,4 UMA. IL METODO PER PROVE ED ERRORI e' il meno elegante di tutti e applicato ad un problema cosi' semplice sembra alquanto inefficace; per questo lo proporremo anche per un problema un po' piu' complesso. Il metodo richiede soltanto di possedere una relazione (algebrica nel caso del peso molecolare del gas) che possa collegare i dati forniti e la soluzione (ignota). Il solutore deve immaginare una soluzione qualsiasi e deve applicare la relazione per trovare di quanto la soluzione immaginata sia sbagliata. Utilizzando soluzioni immaginate adeguate si puo' restringere a volonta' l'intervallo all'interno del quale e' contenuta la soluzione giusta. Il procedimento per prove ed errori applicato al problema del peso molecolare del gas e' il seguente: 1) relazione tra densita' e P.M.: densita' = P.M. / volume molare (con volume molare = 1xRxT / P = 22,4 L). 2) Prima ipotesi: P.M. = 1 (il valore e' arbitrario e preso completamente a casaccio ed impossibile; nessun gas pesa meno dell'idrogeno, che con la formula H2 ha PM=2); d = 1/22,4 = 0,0446 g/L. L'ipotesi PM=1 produce una densita' troppo bassa; quindi PM>1. 3) Seconda ipotesi: PM = 10 (valore arbitrario, superiore ad 1); d = 10/22,4 = 0,446 g/L. L'ipotesi PM=10 produce una densita' troppo bassa; quindi PM>10. 4) Terza ipotesi: PM = 100 (valore arbitrario, superiore a 10); d = 100/22,4 = 4,46 g/L. L'ipotesi PM=100 produce una densita' troppo alta; quindi 10<PM<100: ora noi sappiamo che il PM cercato e' un numero compreso tra 10 e 100. 5) Quarta ipotesi: PM = 50 (valore arbitrario compreso tra 10 e 100); d = 50/22,4 = 2,32 g/L. L'ipotesi PM=50 produce una densita' troppo alta; quindi 10<PM<50. 6) Quinta ipotesi: PM = 30 (valore arbitrario compreso tra 10 e 50); d = 30/22,4 = 1,33 g/L. L'ipotesi PM=30 produce una densita' troppo alta; quindi 10<PM<30. 7) Sesta ipotesi: PM = 20 (valore arbitrario compreso tra 10 e 30); d = 20/22,4 = 0,89 g/L. L'ipotesi PM=20 produce una densita' troppo bassa; quindi 20<PM<30. 8) Settima ipotesi: PM = 25 (valore arbitrario compreso tra 20 e 30); d = 25/22,4 = 1,12 g/L. L'ipotesi PM=25 produce una densita' troppo alta; quindi 20<PM<25. 9) Ripetizione della procedura seguita fino a quando l'intervallo limite inf. < PM < limite sup. non si e' ristretto ad un livello accettabile per l'approssimazione voluta. Applicato ad un problema semplice, il metodo di soluzione per prove ed errori sembra stupido: una volta scritta la relazione d=PM/22,4 e dato che per il problema d=1, e' euristicamente evidente che PM=22,4. Infatti il metodo per prove ed errori rivela la sua potenza quando viene applicato ad un problema che per gli altri due metodi e' algebricamente ostico. Si consideri l'esempio seguente. La reazione chimica omogenea in fase gassosa N2 + 3 H2 <==> 2 NH3 si trova nella sua condizione di equilibrio quando un recipiente del volume (variabile) di 1 L contiene 1 mole di azoto, 1 mole di idrogeno ed 1 mole di ammoniaca. Quali saranno le concentrazioni di equilibrio dei tre composti se il volume del recipiente viene improvvisamente dimezzato? Si immagini il recipiente come un cilindro nel quale puo' scorrere un pistone. 1) La relazione tra i dati e la soluzione, tenendo conto dei coefficienti stechiometrici e': K = [NH3]2/[N2][H2]3 = [(1+2X)/V]2 / {[(1-X)/V] [(1-3X)/V]3} Il segno positivo o negativo assegnato alla X e' scelto perche' il principio di Le Chatelier suggerisce che diminuendo il volume del sistema sia favorita la formazione dell'ammoniaca, in quanto la somma dei coefficienti stechiometrici dei reagenti (4) e' maggiore di quella dei prodotti (2). L'uso dei corretti coefficienti stechiometrici 2:1:3 e' necessario per garantire la conservazione della massa. La K e' nota ed il suo valore (calcolato prima della variazione di volume) e': K = 12/1x13 = 1 Si noti che non e' affatto impossibile scrivere una soluzione algoritmica per l'equazione trovata e risolverla: il problema e' che pero' la soluzione algoritmica in questo caso sara' una equazione completa di quarto grado in X (!) 2) X deve essere necessariamente compreso tra zero e 0,33, per evitare numeri di moli negativi; il volume finale di equilibrio e' 0,5 L. Prima ipotesi: X=0,15 moli; K = [(1+0,3)/0,5]2 / {[(1-0,15)/0,5] [(1-0,45)/0,5]3 = 2,99 Il risultato trovato e' superiore alla K; questo indica che e' stato ipotizzato un X troppo grande, che porta alla formazione di troppo prodotto e al consumo di troppo reagente: X<0,15 3) Seconda ipotesi: X=0,05 moli; K = [(1+0,1)/0,5]2 / {[(1-0,05)/0,5] [(1-0,15)/0,5]3 = 0,52; 0.05<X<0,15 4) Terza ipotesi: X=0,10 moli; K = [(1+0,2)/0,5]2 / {[(1-0,1)/0,5] [(1-0,3)/0,5]3 = 1,17; 0.05<X<0,1 5) Quarta ipotesi: X=0,08 moli; K = [(1+0,16)/0,5]2 / {[(1-0,08)/0,5] [(1-0,24)/0,5]3 = 0,83; 0.08<X<0,1 6) Quinta ipotesi: X=0,09 moli; K = [(1+0,18)/0,5]2 / {[(1-0,09)/0,5] [(1-0,27)/0,5]3 = 0,983; 0.09<X<0,1 7) Ripetere il procedimento fino all'approssimazione desiderata. NOTA STORICA: LO SVILUPPO DELLE IPOTESI SULLA STRATEGIA LOGICA DEGLI ESSERI UMANI. Lo studio scientifico dei processi logici negli esseri umani e negli animali da esperimento appartiene alla psicologia scientifica ed ha ricevuto grande attenzione soprattutto a partiore dal 1900. E' molto probabile che i procedimenti logici "spontanei" dell'uomo siano dipendenti dal tipo di problema affrontato e che il cervello scelga una strategia di soluzione diversa per tipologie di problemi diverse. Le discrepanze tra diverse ipotesi psicologiche sarebbero allora dovute piu' alle differenze di approccio teorico e metodologico che a effettive differenze nell'oggetto di studio. Gli psicologi comportamentisti studiavano soprattutto (ma non esclusivamente) topi e il problema tipico proposto all'animale era l'esplorazione di un labirinto, un processo che concpibilmente non puo' essere affrontato altro che per prove ed errori: l'animale esplora un percorso, lo trova sbarrato, torna indietro e ne prova un altro finche' non raggiunge l'uscita. Il topo nel labirinto non era, naturalmente, l'unico esperimento e neppure l'esperimento piu' importante ideato da questa corrente di pensiero; ciononostante era "tipico" e confermava molte delle premesse teoriche del comportamentismo. Gli psicologi della teoria della Gestalt ritenevano che la percezione e l'elaborazione mentale fossero processi indivisibili nei quali veniva riconosciuto o concepito un intero oggetto, senza stadi intermedi di elaborazione. Kohler, un importante rappresentante di questa corrente usava come animale da esperimento uno scimpanze' chiamato Rex, di particolare intelligenza, al quale proponeva esercizi alquanto difficili, e difficilmente risolvibili con metodi diversi dall'euristica. Ad esempio in un esperimento Rex, chiuso in una gabbia, aveva a disposizione due bastoni coi quali doveva raggiungere ed avvicinare alla gabbia una banana posta sul pavimento ad una distanza superiore a quella che poteva raggiungere con la mano o con ciascuno dei due bastoni. La soluzione del problema era innestare l'uno sull'altro i due bastoni (che erano innestabili) in modo da costruire un bastone solo di sufficiente lunghezza, ed e' ovvio che una soluzione di questo genere non si presta a stadi intermedi di elaborazione: finche' i due bastoni sono separati non c'e' soluzione, una volta innestati l'uno sull'altro la soluzione e' stata raggiunta. Gli psicologi cognitivisti interpretano il funzionamento della mente come quello di una macchina logica, o di un programma di computer: la logica sarebbe non tanto un prodotto della mente quanto la sua modalità organizzativa interna. Il pensiero seguirebbe quindi binari algoritmici che dovrebbe essere possibile ricostruire. Appartengono in buona parte a questa corrente gli studi sull'intelligenza, e la sua scomposizione in fattori, la misura del QI, etc. Non sorprendentemente, il problema che lo psicologo cognitivista sottopone al suo campione sperimentale e' risolvibile algoritmicamente: spesso e' un quesito logico matematico, e la sua soluzione richiede l'applicazione ordinata di formule e teoremi. La conclusione di questa brevissima e sommaria esposizione e' che non sorprendentemente, ciascuno ha trovato cio' che cercava perche' lo strumento di ricerca consentiva di trovare soltanto quello: i comportamentisti si interessavano a problemi risolvibili per prove ed errori e trovavano che gli animali da esperimento risolvevano i problemi proposti per prove ed errore; i gestaltisti si interessavano ad atti psichici che richiedevano una visione globale dei problemi e i loro soggetti sperimentali trovavano soluzioni euristiche; i cognitivisti si interesavano a problemi logici, li sottoponevano ai loro soggetti sperimentali e quelli trovavano soluzioni algoritmiche. E' quindi verosimile che il ragionamento spontaneo dell'uomo possa spaziare su tutti i metodi risolutivi proposti, e che le persone trovino intuitivamente il metodo di volta in volta piu' adatto al problema loro sottoposto. E' infatti assai plausibile che la natura del problema proposto sia il fattore pie' rilevante nella scelta del metodo di risoluzione: ad esempio l'esplorazione di un labirinto si presta ad una soluzione per prove ed errori piu' facilmente che ad una euristica, sebbene sia possibile definire algoritmi che rendano minimo il numero di prove da effettuare. |
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